makalah matematika_ himpunan

 

PEMBAHASAN

A.    HIMPUNAN

1.      Definisi Himpunan

Himpunan merupakan kumpulan atau sekelompok objek yang keanggotaannya dapat didefinisikan dengan jelas.

2.      Notasi dan Anggota Himpunan

Ketentuan-ketentuan untuk menyatakan himpunan diantaranya:

a)      Nama himpunan ditulis dengan huruf besar

b)      Menyatakan anggota himpunan dengan huruf kecil

c)      Penulisan anggota himpunan dibatasi oleh dua buah kurung kurawal

d)     Pemisahan anggota satu dengan yang lainnya dengan koma

e)      Untuk menyatakan anggota selanjutnya dengan tiga buah titik

3.      Cara menyatakan suatu himpunan

a)      Dengan kata-kata

b)      Dengan notasi pembentuk himpunan

c)      Dengan mendaftar anggota-anggotanya

Contoh dengan menyatakan himpunan dengan kata-kata:

P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40.

Penyelesaian:

P = {sebelas, tigabelas, tujuh belas, sembilanbelas, dua puluh tiga, dua puluh  sembilan, tiga puluh satu, tiga puluh tujuh, tiga puluh sembilan}

   Himpunan bilangan – bilangan

1)      Himpunan bilangan asli notasinya : A= { 1,2,3,4,5,... }

2)      Himpunan bilangan bulat notasinya : B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,... }

3)      Himpunan bilangan cacah notasinya : C = { 0,1,2,3,4,5,... }

4)      Himpunan bilangan genap notasinya : G = { 2,4,6,8,10,... }

5)      Himpunan bilangan ganjil notasinya : L = { 1,3,5,7,9,11,... }

6)      Himpunan bilangan prima notasinya : P = { 1,3,5,7,9,... }

7)      Himpunan bilangan komposit notasinya : K = { 4,6,8,10,... }

                                                                                                          

Dengan notasi pembentuk himpunan

contoh :

P : { bilangan prima antara 10 dan 40 }

Notasi :

P : { 10 < x < 40 , x E bilangan prima }

2. P : { x| x < 7, x E bilangan prima }

    P : { 1,3,5, }

    P : { 11, 13,17,19,23,29,31,37,39 }

Dengan mendaftar anggota – anggota nya :

   contoh :

P : { 0,1,2,3,4 }

           B : { -2,-1,0,1,2 }

v  Himpunan berhingga dan tak berhingga

ü  Himpunan berhingga

   Contoh : jika A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

     Jawab : A : { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

ü  Himpunan tak berhingga

   Contoh  : jika K adalah himpunan bilangan komposit

   Jawab : K : { 4,6,8,10,... }

ü  Himpunan kosong dan himpunan semesta

Himpunan kosong : {     } atau ɸ

 Contoh:    Mahasiswa PBA berumur 15 tahun

v  Himpunan Semesta ( S )

Contoh: jika A = { 2,3,5,7,} tentukan tiga buah himpunan semestanya!

Jawab:

S= {himpunan bilangan asli}

S= {himpunan bilangan prima}

S= {himpunan bilangan cacah}

v  Himpunan bagian ( C )

Contoh:

            A= {1,2,3}

            B= {6,7,8}

            C= {1,2,3,4,5,6,7,8}

Jawab:

           

v  Menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep himpunan

Contoh:

1)      Dalam satu kelas yang terdiri atas 40 siswa, 24 siswa gemar bermain tenis 23 siswa gemar main sepak bola dan 11 siswa gemar kedua-duanya. Gambarlah diagram venn dan keterangan tersebut. Kemudian tentukan banyak siswa.

a)      Yang gemar bermain tenis

b)      Yang gemar bermain sepak bola

c)      Yang tidak gemar kedua-duanya

2)      Dari sekelompok anak diperoleh data 23 orang suka maka makan bakso, dan mie ayam. 45 orang suka makan bakso dan 34 orang  yang suka makan ayam dan 6 orang tidak suka kedua-duanya

a)      Tentukan banyak anak dalam kelompok tersebut

Jawab:

1) yang gemar bermain tenis

     24-11 = 13 siswa

2) yang gemar bermain sepak bola

    23-11= 12 siswa

3) yang tidak gemar kedua-duanya

    40-24-11= 4 siswa

                        1) yang suka makan bakso dan mie ayam 45-23= 22

                        2) yang suka bakso 45

                        3) yang suka mie ayam 45-34=11

                        4) yang tidak suka keduanya = 6

                        banyak anak 23+ 22+11+6= 62

B.  Logika Matematika

Definisi logika metode yang diciptakan untuk meneliti ketepatan sebuah sebuah penalaran. Penalaran : suatu pemikiran yang masuk akal

ü  Pernyataan

Suatu kalimat yang bernilai salah dan benar, tetapi tidak sekaligus bernilai benar atau salah.

Contoh: jumlah titik sudut dalam kubus ada 8 (banar)

              Z adalah himpunan bilangan ganjil (salah)

              Rukun iman ada 5 perkara (salah)

ü  Kalimat terbuka

Kalimat yang memuat peubah / variabel dan menjadi pernyataan.

Contoh:

·          2 +3 = 15

·         Kota P adalah daerah wisata

ü  Negasi (ingkaran)

Jika suatu pernyataan bernilai salah maka ingkaran maka pernyataan bernilai benar, sebaliknya jika pernyataan bernilai benar maka ingkaranya bernilai salah.

Contoh:

P= 3 adalah faktor dari 10

                 ~P= 3 adalah bukan faktor 10

ü  Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

P	Q	P
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

           

ü  Disjungsi

P	Q	P V Q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

ü  Implikasi

P	Q	P  Q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

ü  Biimplikasi

P	Q	P   Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

ü  Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Contohnya: jika a maka b

Maka konvers adalah jika b maka a

Invers: jika bukan a maka bukan b

Kontraposisi: jika bukan b maka bukan a

Contoh: jika  dan y bilangan ganjil maka bilangan genap, tentukan konvers, invers, dan kontraposisi.

Jawab:

Konvers: jika  bilangan genap maka  dan  bilangan ganjil

Invers: jika  dan  bukan bilangan ganjil maka  bukan bilangan genap

Kontraposisi: jika  bukan bilangan genap maka  dan y bukan bilangan ganjil.

v  Kuantor

Adalah kalimat yang mengandung kata semua, setiap, ada, dan beberapa. Kuantor terbagi menjadi dua yaitu kuantor existensial dan kuantor universal (Khusus dan Umum).

C.  Eksponen dan Logaritma

Pengertian Eksponen Bentuk aⁿ (baca : a pangkat n) disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka :
Berdasarkan penjelasan di atas maka berlaku rumus-rumus di bawah ini :
Misalkan dan m,n adalah bilangan positif, maka:




1. Fungsi Eksponen dan Grafiknya

Fungsi eksponen merupakan pemetaan bilangan real x ke a^x dengan a > 0 dan Jika a > 0 dan , maka disebut fungsi eksponen mempunyai sifat-sifat :

(i) Kurva terletak di atas sumbu x (definit positif)

(ii) Mempunyai asimtot datar y = 0 (sumbu x )

(iii) Monoton naik untuk a > 1

(iv) Monoton turun untuk 0 <>

Grafik fungsi eksponen y = a^x

(i) y = a^x : a > 1

(i) y = a^x 0 <>

2.   Persamaan fungsi Eksponen
Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, diantaranya adalah:

- F ( x ) = 1

- Untuk f(x) 0 dan f(x) 1, maka f(x) = g(x)

- f ( x ) = -1 asalkan f (x) dan g (x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil,

- f ( x ) = 0 asalkan f ( x ) > 0 dan g ( x ) > 0

Contoh :
Tentukan nilai x supaya
Jawab:

3.     Pertidaksamaan Eksponen

1. f ( x ) > g ( x ), 0 > 1

2. f ( x ) <>

Contoh:

Himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan adalah....
Jawab:

Jadi HP = { x | x > 2 }

      D.   Rumus dan Sifat LOGARITMA

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:

b^c= a ditulis sebagai ^blog a = c (b disebut basis)

Beberapa orang menuliskan ^blog a = c sebagai log_ba = c

Rumus Logaritma Perkalian

Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan.

Rumus Logaritma Pembagian 

Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan pengurangan logaritma pembilang numerus oleh penyebut numerus.

E.  PERSAMAAN KUADRAT

Suatu persamaan yang memiliki pangkat tertinggi adalah 2.

Bentuk-bentuk umum : ax²+bx+c  0

v  Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan beberapa cara yaitu:

A. faktorisasi

     1. x²+2x-8= 0

(x+4) (x-2)= 0

  x = -4   x = 2

2. 2x²-5x-3 = 0

    (2x+1) (x-3)

    X = -1/2 atau x = 3

       B. Rumus kuadrat

            X_1. X₂

Contoh:

1. x²+2x-8 = 0

Jawab:

           

          x

         

         

          X₁  = 2

           X_{2 =  = -4}

F. SPLDV

Cara menyelesaikan SPLDV yaitu dengan dua cara, dengan eliminasi dan

subsitusi.

Contohnya:

a. 8x+2y = 7

b. 3x-4y = 5

jawab:

           8x+2y = 7|4| 32x+8y =28

           x-4y = 5   |2| 6x-8y      =10